Mantıksal bir işlemi belirtmek için veya. Mantık cebirinin öğelerini kullanarak bilgisayar bilimlerinde sınav ödevlerini çözme. Basit ayrılıklar ve bağlaçlar

Bağlaç veya mantıksal çarpma (küme teorisinde bu bir kesişmedir)

Bir bağlaç, ancak ve ancak her iki basit ifadenin de doğru olması durumunda doğru olan karmaşık bir mantıksal ifadedir. Bu durum sadece tek bir durumda mümkündür, diğer tüm durumlarda bağlaç yanlıştır.

Tanımlama: &, $ \ kama $, $ \ cdot $.

Birleşim için doğruluk tablosu

Resim 1.

Bağlaç özellikleri:

1. Bazı değişken değerleri kümesi için bağlacın alt ifadelerinden en az biri yanlışsa, bu değer kümesi için tüm bağlaç yanlış olacaktır.
2. Tüm bağlaç ifadeleri, değişkenlerin bazı değer kümesinde doğruysa, tüm bağlaç da doğru olacaktır.
3. Karmaşık bir ifadenin tüm birleşiminin anlamı, uygulandığı alt ifadelerin yazılma sırasına bağlı değildir (matematikte, çarpmada olduğu gibi).

Ayrılma veya mantıksal toplama (küme teorisinde bu bir birliktir)

Ayrılma, tüm ifadelerin yanlış olduğu durumlar dışında neredeyse her zaman doğru olan karmaşık bir mantıksal ifadedir.

Tanımlama: +, $ \ vee $.

Ayrılma için doğruluk tablosu

Şekil 2.

Ayrışma özellikleri:

1. Ayrılma alt ifadelerinden en az biri, bazı değişken değerleri kümesinde doğruysa, tüm ayırma, bu alt ifade kümesi için gerçek bir değer alır.
2. Belirli bir değişken değer kümesinde belirli bir ayırma listesindeki tüm ifadeler false ise, bu ifadelerin tüm ayırma işlemi de false olur.
3. Tüm ayırmanın anlamı, alt ifadelerin yazılma sırasına bağlı değildir (matematikte olduğu gibi - toplama).

Olumsuzlama, mantıksal olumsuzlama veya tersine çevirme (küme teorisinde bu olumsuzlamadır)

Olumsuzlama - DEĞİL parçacığının veya YANLIŞ kelimesinin orijinal mantıksal ifadeye, NE eklendiği anlamına gelir ve sonuç olarak, orijinal ifade doğruysa, orijinal ifadenin olumsuzlamasının yanlış olacağını ve bunun tersinin geçerli olacağını elde ederiz. orijinal ifade yanlışsa, olumsuzlaması doğru olacaktır.

Gösterim: $ A $, $ \ bar (A) $, $ ¬A $ değil.

İnversiyon için doğruluk tablosu

Figür 3.

Olumsuzlama özellikleri:

"Çifte olumsuzlama" $ ¬¬A $, $ A $ yargısının bir sonucudur, yani biçimsel mantıkta bir totoloji vardır ve Boole mantığındaki değere eşittir.

Etki veya mantıksal sonuç

Çıkarım, gerçeğin yanlışı izlemesi dışında, her durumda doğru olan karmaşık bir mantıksal ifadedir. Yani, bu mantıksal işlem, ilki bir koşul ($ A $) ve ikincisi ($ A $) koşulun ($ A $) bir sonucu olan iki basit mantıksal ifadeyi birbirine bağlar.

Tanımlamalar: $ \ - $, $ \ Rightarrow $.

Uygulama için doğruluk tablosu

Şekil 4.

Uygulama özellikleri:

1. $ A \ - B = ¬A \ vee B $.
2. $ A = 1 $ ve $ B = 0 $ ise $ A \'dan B $'a ima yanlıştır.
3. $ A = 0 $ ise, $ A \ - B $ arasındaki sonuç, $ B $'ın herhangi bir değeri için doğrudur (yalan doğru olabilir).

Denklik veya mantıksal denklik

Eşdeğerlik, $ A $ ve $ B $ için eşit değerler olarak değerlendirilen karmaşık bir boole ifadesidir.

Tanımlamalar: $ \ leftrightarrow $, $ \ Leftrightarrow $, $ \ equiv $.

Denklik için doğruluk tablosu

Şekil 5.

denklik özellikleri:

1. Denklik, $ A $ ve $ B $ değişkenlerinin eşit değer kümelerinde geçerlidir.
2. CNF $ A \ eşdeğer B = (\ bar (A) \ vee B) \ cdot (A \ cdot \ bar (B)) $
3. DNF $ A \ eşdeğer B = \ bar (A) \ cdot \ bar (B) \ vee A \ cdot B $

Kesin ayırma veya toplama modulo 2 (küme teorisinde bu, kesişimleri olmayan iki kümenin birleşimidir)

Argüman değerleri eşit değilse güçlü ayrım doğrudur.

Elektronik için bu, devrelerin uygulanmasının tipik bir eleman kullanılarak mümkün olduğu anlamına gelir (bu pahalı bir eleman olmasına rağmen).

Karmaşık bir mantıksal ifadede mantıksal işlemlerin yürütme sırası

1. Ters çevirme (olumsuzlama);
2. Bağlaç (mantıksal çarpma);
3. Ayrılma ve kesin ayırma (mantıksal ekleme);
4. Uygulama (sonuç);
5. Denklik (kimlik).

Mantıksal işlemlerin belirtilen yürütme sırasını değiştirmek için parantez kullanmanız gerekir.

Genel Özellikler

$ n $ boole değişkenleri için tam olarak $ 2 ^ n $ farklı değerler vardır. için doğruluk tablosu boole ifadesi from $ n $ değişkenleri, $ n + 1 $ sütun ve $ 2 ^ n $ satır içerir.

Bölümler: bilişim

Şu anda, bilgisayar bilimi giriş sınavlarında "mantık cebiri" konusunda birçok görev var. Bu dersin amacı, mantık cebirinin öğelerini kullanarak bilgisayar bilimlerinde USE görevlerini çözme becerilerini pekiştirmektir.

Dersin Hedefleri:

• Edinilen bilgileri pratikte uygulama becerisinin oluşumu;
• Verilen formüllere göre doğruluk tabloları oluşturma becerisinin geliştirilmesi;
• Mantık yasalarını kullanarak kelime problemlerini çözme yeteneğinin geliştirilmesi.

Dersin Hedefleri:

• eğitici - bilişsel ilginin gelişimi, mantıksal düşünme.
• eğitici- matematiksel mantığın temellerinin tekrarı, pratik görevlerin uygulanması.
• gelişmekte - mantıksal düşünmenin gelişimi, dikkat.

Dersler sırasında

1. Mantıksal işlemlerin ve yasaların tekrarı.
2. Mantıksal işlemlerin ve yasaların pratikte uygulanması.
3. Ev ödevi açıklaması.

Bugün "Mantığın Temelleri" konusunu tamamlıyoruz ve bilgisayar bilimindeki USE görevlerini çözmek için temel mantıksal işlemleri, dönüşüm yasalarını uygulayacağız.

Ders sunuma paralel olarak ilerler.<Приложение1>

1. Mantıksal işlemlerin ve yasaların tekrarı.

Mantık cebiri, karmaşık mantıksal ifadelerin yapısını ve cebirsel yöntemleri kullanarak doğruluklarını belirleme yöntemlerini inceleyen matematiksel mantığın bir dalıdır.

1. Biçimsel mantığın kurucusu?

Aristo.

2. Mantık cebirinin kurucusu?

George Boole.

3. Mantıksal işlemleri listeleyin:

¬ olumsuzlama (ters çevirme)
&, / \ bağlacı (“VE”)
V ayırma ("VEYA")
mantıksal sonuç (ima)
denklik (denklik)

4. Çifte olumsuzlama yasasının anlamı nedir?

Çift olumsuzlama olumsuzlamayı dışlar.

5. De Morgan yasaları (genel ters çevirme yasaları).

Bir ayrımın olumsuzlanması, olumsuzlamaların birleşimidir:

¬ (A V B) = ¬A / \ ¬B

Bir bağlacın olumsuzlaması, olumsuzlamaların ayrılmasıdır:

¬ (A / \ B) = ¬A V ¬B

6. Bağımsızlık yasası (kimlik).

7. Üçüncünün hariç tutulması yasasının anlamı nedir?

Aynı konuda iki çelişkili ifadeden biri her zaman doğrudur, ikincisi yanlıştır, üçüncüsü verilmez:

8. Çelişki yasası ne hakkındadır?

İfade ve olumsuzlaması aynı anda doğru olamaz:

9. Sabitlerin dışlanması yasası.

Mantıksal ekleme için:

A V 1 = 1 A V 0 = A

Mantıksal çarpma için:

A / \ 1 = A A / \ 0 = 0

10. Çıkarma yoluyla ima nasıl ifade edilir?

A B = ¬A V B

2. Mantıksal işlemlerin ve yasaların pratikte uygulanması.

Örnek 1. ( 2004 demosunun A11 Görevi)

Hangi isim için şu söz doğrudur:

¬ (Bir ünlünün ilk harfi -> Bir ünsüzün dördüncü harfi)?

Çözüm. Karmaşık bir ifade iki basit ifadeden oluşur:

A - ismin ilk harfi bir sesli harftir,

B - ismin dördüncü harfi bir ünsüzdür.

¬ (AB) = ¬ (¬A V B) = (¬ (¬A) / \ ¬B) = A / \ ¬B

Uygulanabilir formüller:

1. Ayrılma A yoluyla çıkarım? B = ¬A V B

2. De Morgan yasası ¬ (A V B) = ¬A / \ ¬B

3. Çifte olumsuzlama yasası.

(Adın ilk harfi seslidir /\Adın dördüncü harfi seslidir)

Örnek 2. ( 2004 demosunun A12 Görevi)

Hangi mantıksal ifade ¬ (A \ / ¬B) ile aynıdır?

Çözüm. ¬ (A \ / ¬B) = ¬ A \ / ¬ (¬B) = ¬ A \ / B

Bir formül için doğruluk tablosu oluşturun

¬ (B / \ C) V (A / \ C B)

Mantıksal işlemleri gerçekleştirme sırası:

¬ (B / \ C) V (A / \ C B)

Bir doğruluk tablosu çizin.

Tablonuz kaç satır olacak? 3 değişken: A, B, C; 2 3 = 8

Kaç sütun? 5 işlem + 3 değişken = 8

A	B	C	(M.Ö)	¬ (B / \ C)	AC	(A / \ C? B)	¬ (B / \ C) V (A / \ CB)
0	0	0	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	0	0	1
1	1	1	1	0	1	1	1

Son sütundaki cevaplar nelerdir?

aynı şekilde doğru içerdiği tüm basit ifade kümelerinde 1 değerini alırsa. Özdeş olarak doğru formüller denir totolojiler.

Bu örneği analitik yöntemi kullanarak çözelim:

ifadeyi sadeleştirme

¬ (B / \ C) V (A / \ C B) = (ima için formülü uygulayın)

¬ (B / \ C) V ¬ (A / \ C) V B = (1 ve 2 de Morgan yasalarını uygulayın)

(¬B V ¬C) V (¬A V ¬C) V B = (parantezleri kaldırın)

¬B V ¬C V ¬A V ¬C V B = (aktarma yasası geçerlidir)

¬B V B V ¬C V ¬C V ¬A = (üçüncünün dışlanması yasası, bağımsızlığın yasası)

1 V ¬C V ¬A = 1 V ¬A = 1 (sabitlerin eliminasyonu yasası)

Yanıt vermek: 1 , formülün aynı şekilde doğru veya bir totoloji olduğu anlamına gelir.

Boole ifadesi denir aynı şekilde yanlış içerdiği tüm basit ifade kümelerinde 0 değerini alırsa.

(ödev 3 ödevi)

Tablo, arama sunucusuna yapılan istekleri listeler. Sorgu tanımlarını, arama motorunun her bir sorgu için bulacağı sayfa sayısına göre artan sırada düzenleyin.

Sorguda mantıksal işlemi "VEYA" belirtmek için I sembolü ve mantıksal işlem "VE" için - & sembolü kullanılır.

Birinci yol muhakeme üzerine kuruludur. Mantıksal olarak, D sorgusu için sayfaların çoğunun bulunacağını görüyoruz, çünkü yürütüldüğünde, "yasalar" kelimesini içeren sayfalar ve "fizik" kelimesini içeren sayfalar ve "biyoloji" kelimesini içeren sayfalar olacaktır. bulunan. Arama sayfasındaki dört kelimenin tümünü içerdiğinden, B sorgusu için tüm sayfaların en azı bulunacaktır. Geriye A ve B sorgularını karşılaştırmak kalıyor. B sorgusu ile, A sorgusuna karşılık gelen tüm sayfalar (ikincisi mutlaka "yasalar" kelimesini içerdiğinden) ve hem "fizik" hem de "biyoloji" kelimelerini içeren sayfalar bulunacaktır. . Bu nedenle, B sorgusu A sorgusundan daha fazla sayfa bulacaktır. Dolayısıyla, sorguları artan sayfa sırasına göre sıraladığımızda şunu elde ederiz: WABG.

Cevap: WAGB.

İkinci yöntem, kümelerdeki işlemlerin grafiksel bir temsilinin kullanılmasını içerir. (bkz. sunum)

Örnek 5. ( 2006 demosunun A16 Görevi)

Aşağıda, tablo halinde, öğrenci test sonuçlarına ilişkin veri tabanının bir parçası sunulmaktadır (yüz puanlık bir ölçek kullanılır)

Soyadı	Zemin	Matematik	Rus Dili	Kimya	bilişim	Biyoloji
Aganian	F	82	56	46	32	70
Voronin	m	43	62	45	74	23
Grigorçuk	m	54	74	68	75	83
Rodnina	F	71	63	56	82	79
Sergeyenko	F	33	25	74	38	46
Çerepanova	F	18	92	83	28	61

Belirli bir parçadaki kaç kayıt koşulu sağlıyor?

"Cinsiyet = 'm' VEYA Kimya> Biyoloji"?

Girişleri seçin: Erkekler (iki) ve Kimya> Biyoloji (üç, ancak bir erkek, zaten bir kez aldı). Sonuç olarak, 4 kayıt koşulu karşılamaktadır.

Görev 6. ( 2007 demosunun B4 Görevi)

Okul masa tenisi şampiyonasında ilk dörde kızlar yer aldı: Natasha, Masha, Luda ve Rita. En ateşli taraftarlar, gelecekteki yarışmalarda yerlerin dağılımı hakkındaki varsayımlarını dile getirdiler.

Biri Natasha'nın ilk olacağını ve Masha'nın ikinci olacağını düşünüyor.

Başka bir hayran Luda'yı ikinci sırada okuyor ve onun görüşüne göre Rita dördüncü sırada yer alacak.

Üçüncü bir tenis sever onlarla aynı fikirde değildi. Rita'nın üçüncü sırada yer alacağına ve Natasha'nın ikinci olacağına inanıyor.

Natasha, Masha, Luda, Rita şampiyonada hangi yeri aldı?

(Cevabınızda, kızların yerlerine karşılık gelen sayıları verilen ad sırasına göre boşluk bırakmadan sıralayın.)

İfadeleri belirleyelim:

Н1 = “Natasha ilk olacak”;

M2 = “ikincisi Maşa olacak”;

L2 = “ikincisi Luda olacak”;

P4 = “Rita dördüncü olacak”;

P3 = “Rita üçüncü olacak”;

H2 = “Natasha ikinci olacak”.

Duruma göre:

1 hayranın ifadelerinden Н1VМ2'nin doğru olduğu anlaşılmaktadır;

fanın ifadelerinden2 L2VP4'ün doğru olduğu sonucu çıkar;

3 taraftarın ifadelerinden Р3VН2'nin doğru olduğu anlaşılmaktadır.

Bu nedenle bağlaç

(H1VM2) / \ (L2VP4) / \ (P3VH2) = 1.

Parantezleri genişleterek şunları elde ederiz:

(H1VM2) / \ (L2VP4) / \ (P3VH2) = (H1 / \ L2V H1 / \ P4 V M2 / \ L2 V M2 / \ P4) / \ (P3VH2) =

H1 / \ L2 / \ P3 V H1 / \ P4 / \ P3 V M2 / \ L2 / \ P3 V M2 / \ P4 / \ P3 V H1 / \ L2 / \ H2 V H1 / \ P4 / \ H2 V M2 / \ L2 / \ H2 V M2 / \ P4 / \ H2 = H1 / \ L2 / \ P3 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V = H1 / \ L2 / \ P3

Natasha-1, Luda-2, Rita-3 ve Masha-4.

Cevap: 1423

3. Ev ödevinin açıklaması.

1. Egzersiz. ( 2007 demosunun Görev B8'i)

Tablo, arama sunucusuna yapılan istekleri listeler. Sorgu tanımlarını, arama motorunun her bir sorgu için bulacağı sayfa sayısına göre artan sırada düzenleyin.

Sorguda mantıksal işlemi "VEYA" belirtmek için | sembolü ve mantıksal işlem için "VE" - & kullanılır.

Görev 2 ( 2008 demosunun B4 Görevi)

Dörtlü Turnuva başlamadan önce hayranlar idolleri hakkında şu varsayımlarda bulundular:

A) Max kazanır, Bill saniye;

B) Bill üçüncü. Nick ilk;

C) Max sonuncu ve ilk John.

Yarışma sona erdiğinde, taraftarların her birinin tahminlerinden sadece birinde haklı olduğu ortaya çıktı.

John, Nick, Bill, Max turnuvada hangi yeri aldı?

(Cevapta, katılımcıların yerlerini verilen ad sırasına göre boşluk bırakmadan sıralayın.)

Arama sorguları, internette hızlı bir şekilde bilgi bulmak için kullanılır. Bir arama terimi bir kümedir anahtar kelimeler, mantıksal işlemlerin işaretleri ile bağlantılı VE, VEYA, DEĞİL.

Özel olarak sağlanan parantez yoksa, işlemlerin önceliği şudur: önce DEĞİL, sonra AND, sonra OR.

AND işleminin (koşulların aynı anda yerine getirilmesi) sonucun hacmini azalttığını ve VEYA işleminin (koşullardan en az birinin yerine getirilmesi) aksine hacmi artırdığını anlamalısınız.

Sorgu tırnak içinde bir kelime öbeği içeriyorsa, sistem tamamıyla aynı ifadeyi arayacaktır.

1. Artan (azalan) sorguların düzenlenmesi

AND işlemi (&), aranan belgelerde aynı anda anahtar sözcüklerin varlığını belirtir ve bu nedenle bulunan bilgi miktarını azaltır. "VE" işlemiyle ne kadar çok anahtar kelime bağlanırsa, o kadar az bilgi bulunur. Ve tam tersi, "VEYA" (|) işlemi, aranan belgelerde en az bir anahtar kelimenin varlığını belirtir ve bu nedenle bulunan bilgi miktarını artırır.

Örnek 1.

Tablo, arama sunucusuna yapılan istekleri listeler. Sorgu tanımlarını, arama motorunun her bir sorgu için bulacağı sayfa sayısına göre artan sırada düzenleyin.

A) özet | matematik | Gauss
B) özet | matematik | Gauss | yöntem
C) soyut | matematik
D) Soyut & Matematik & Gauss

Çözüm:

En az sayıda sayfa istek üzerine seçilecektir. en büyük sayı"VE" işlemleri (sorgu D), En fazla sayfa sayısı, en fazla işlem "VEYA" (sorgu B) ile sorgu tarafından seçilecektir. A İsteği, B isteğinden daha fazla sayfa seçecektir, çünkü A sorgusu, VEYA ile ilgili daha fazla anahtar kelime içeriyor.

Cevap : GWAB

2. İstek sayfalarında bulunan sayımlar

Bu tür bir problem genellikle bir denklem sistemi ile çözülür. Daha görsel ve basit bir yol önereceğim.

Hakkında bilgi seçimi ilkesi arama sorguları Euler-Venn diyagramı (Euler daireleri) bunu iyi bir şekilde göstermektedir. Diyagramda kümeler kesişen dairelerle temsil edilmektedir. VE (&) işlemi dairelerin kesişimidir ve VEYA (|) işlemi dairelerin birleşimidir.

Örneğin Elma, Armut, Muz kümelerini dairelerle gösterelim. Elmalar ve Armutlar ve Muzlar için, üç dairenin tümünün kesişimi (ortak kısım) seçilecektir:

Talep üzerine Elma | Armutlar iki dairenin birleşimi ile seçilecektir:

Örnek 2.

Tablo, arama sunucusunun İnternet'in belirli bir bölümünde bu istekler için bulduğu istekleri ve sayfa sayısını gösterir:

Satranç için kaç sayfa (bin olarak) bulunacak?

Çözüm:

Şimdi bir Euler-Venn diyagramı çizelim. Sorunun çözümü, çizgilerle sınırlanan her alana karşılık gelen sayfa sayısını saymaktan ibarettir:

Satranç & tenis sorgusu orta bölgeye (1000 bin sayfa), tenis sorgusu ise tüm sağ daireye (5500 bin sayfa) karşılık gelir.

O zaman sağdaki "kırpılmış daire" 5500-1000 = 4500'dür:

Satranç Talebi | tenis her iki daireyle (7770) eşleşir, ardından sol "kırpılmış daire" 7770-5500 = 2270 olur

Girilen verilerle herhangi bir mantıksal işlemi gerçekleştirmek üzere tasarlanmış bir elektrik devresine mantıksal eleman denir. Giriş verileri burada çeşitli seviyelerde voltajlar şeklinde temsil edilir ve çıkıştaki mantıksal işlemin sonucu da belirli bir seviyedeki voltaj şeklinde elde edilir.

Bu durumda, işlenenler sağlanır - mantık elemanının girişinde, esas olarak giriş verileri olarak işlev gören yüksek veya düşük voltaj şeklindeki sinyaller alınır. Bu nedenle, yüksek seviyeli voltaj - bu 1'in mantıksal birimidir - işlenenin gerçek değerini ve düşük seviye voltajı 0 - yanlış değeri gösterir. 1 - DOĞRU, 0 - YANLIŞ.

mantıksal öğe- giriş ve çıkış sinyalleri arasında belirli bir mantıksal ilişki uygulayan bir öğe. Mantık elemanları genellikle bilgisayarların mantık devrelerini, ayrık otomatik kontrol ve yönetim devrelerini oluşturmak için kullanılır. Fiziksel doğasından bağımsız olarak her tür mantıksal öğe, giriş ve çıkış sinyallerinin ayrık değerleri ile karakterize edilir.

Mantık kapılarının bir veya daha fazla girişi ve bir veya iki (genellikle birbirinin tersi) çıkışı vardır. Mantıksal elemanların çıkış sinyallerinin "sıfır" ve "birler" değerleri, elemanın gerçekleştirdiği mantıksal işlev ve oynayan giriş sinyallerinin "sıfır" ve "birler" değerleri ile belirlenir. bağımsız değişkenlerin rolü. ilkokul var mantık fonksiyonları, herhangi bir karmaşık mantıksal işlevi oluşturabilirsiniz.

Eleman devresinin cihazına bağlı olarak, elektrik parametrelerine bağlı olarak, giriş ve çıkışın mantık seviyeleri (yüksek ve düşük voltaj seviyeleri), yüksek ve düşük (doğru ve yanlış) durumlar için aynı değerlere sahiptir.

Geleneksel olarak, mantık elemanları özel radyo bileşenleri - entegre devreler şeklinde üretilir. mantıksal işlemler bağlaç, ayırma, olumsuzlama ve modulo ekleme (VE, VEYA, DEĞİL, özel VEYA) gibi - temel türlerin mantıksal öğeleri üzerinde gerçekleştirilen ana işlemlerdir. Şimdi, bu mantık kapılarının her birine daha yakından bakalım.

Mantık öğesi "VE" - bağlaç, mantıksal çarpma, VE

"Ve", giriş verilerinde bağlaç veya mantıksal çarpma gerçekleştiren mantıksal bir öğedir. Bu eleman 2 ile 8 arasında (2, 3, 4 ve 8 girişli üretimde en yaygın "VE" elemanları) giriş ve bir çıkışa sahip olabilir.

Farklı sayıda girişe sahip "VE" mantıksal öğelerinin sembolleri şekilde gösterilmiştir. Metinde, bir veya daha fazla sayıda girişe sahip bir mantıksal "AND" öğesi "2I", "4I" vb. olarak belirtilir. - iki girişli, dört girişli vb. bir "AND" öğesi.

Öğe 2I için doğruluk tablosu, yalnızca mantıksal birimler aynı anda ilk girişte VE ikinci girişteyse, öğenin çıkışının mantıksal bir birim olacağını gösterir. Diğer üç olası durumda, çıktı sıfır olacaktır.

Batı diyagramlarında, "AND" öğesi simgesi girişte düz bir çizgiye ve çıkışta yuvarlağa sahiptir. Ev şemalarında - "&" sembollü bir dikdörtgen.

Mantık öğesi "VEYA" - ayırma, mantıksal ekleme, VEYA

"VEYA", giriş verileri üzerinde bir ayırma veya mantıksal ekleme işlemi gerçekleştiren mantıksal bir öğedir. AND elemanı gibi iki, üç, dört vb. girdi ve bir çıktı ile üretilir. "VEYA" mantıksal öğelerinin sembolleri farklı miktarlar girişler şekilde gösterilmiştir. Bu elemanlar şu şekilde belirtilir: 2OR, 3OR, 4OR, vb.

"2OR" elemanı için doğruluk tablosu, mantıksal bir birimin çıktıda görünmesi için mantıksal birimin ilk girişte VEYA ikinci girişte olması yeterlidir. Mantıksal olanlar aynı anda iki girdideyse, çıktı da bir olacaktır.

Batı diyagramlarında, VEYA öğesinin yuvarlak bir girişi ve çıkışta yuvarlak bir noktası vardır. Ev şemalarında - "1" sembollü bir dikdörtgen.

Mantık kapısı "DEĞİL" - negatif, invertör, DEĞİL

"NOT", giriş verileri üzerinde mantıksal olumsuzlama işlemini gerçekleştiren mantıksal bir öğedir. Bir çıkışı ve sadece bir girişi olan bu eleman, aslında giriş sinyalini tersine çevirdiği (tersine çevirdiği) için inverter olarak da adlandırılır. Şekil, "DEĞİL" mantıksal öğesinin geleneksel tanımını göstermektedir.

İnverter için doğruluk tablosu, girişte yüksek bir potansiyelin çıkışta düşük bir potansiyel verdiğini ve bunun tersini gösterir.

Batı şemalarında, "NOT" öğesi simgesi, çıkışta bir daire bulunan bir üçgen şeklindedir. Ev devrelerinde - çıkışta bir daire bulunan "1" sembollü bir dikdörtgen.

Mantık öğesi "AND-NOT" - olumsuzlama, NAND ile bağlaç (mantıksal çarpma)

"VE-NOT" - giriş verileri üzerinde mantıksal ekleme işlemini ve ardından mantıksal olumsuzlama işlemini gerçekleştiren mantıksal bir öğe, sonuç çıktıya beslenir. Başka bir deyişle, prensipte, "DEĞİL" öğesiyle tamamlanan "VE" öğesidir. Şekil, "2I-NOT" mantıksal öğesinin geleneksel tanımını göstermektedir.

AND-NOT öğesinin doğruluk tablosu, AND öğesinin tablosunun tersidir. Üç sıfır ve bir yerine üç bir ve bir sıfır var. NAND öğesi, bunun önemini ilk kez 1913'te not eden matematikçi Henry Maurice Schaeffer'in onuruna Schaeffer öğesi olarak da adlandırılır. "VE" olarak belirtilir, yalnızca çıkışta bir daire ile.

Mantık öğesi "VEYA-NOT" - olumsuzlama ile ayrılma (mantıksal ekleme), NOR

"VEYA-NOT" - giriş verileri üzerinde mantıksal ekleme işlemini ve ardından mantıksal olumsuzlama işlemini gerçekleştiren mantıksal bir öğe, sonuç çıktıya beslenir. Başka bir deyişle, bir "NOT" öğesiyle desteklenen bir "VEYA" öğesidir - bir invertör. Şekil, "2OR-NOT" mantıksal öğesinin geleneksel tanımını göstermektedir.

OR-NOT öğesinin doğruluk tablosu, OR öğesinin tablosunun tersidir. Çıkışta yüksek bir potansiyel sadece bir durumda elde edilir - her iki girişe aynı anda düşük potansiyeller uygulanır. "VEYA" olarak belirtilir, yalnızca çıktıda bir inversiyonu gösteren bir daire bulunur.

Mantık kapısı "özel VEYA" - modulo 2, XOR ekleme

"Özel VEYA" - modülo 2 giriş verileri üzerinde mantıksal bir ekleme işlemi gerçekleştiren mantıksal bir öğe, iki giriş ve bir çıkışa sahiptir. Bu elemanlar genellikle kontrol şemalarında kullanılır. Şekil, bu elemanın sembolünü göstermektedir.

Batı şemalarındaki görüntü - girişin yanında ek bir kavisli şerit bulunan "VEYA" da olduğu gibi, iç mekanda - "VEYA" olarak, sadece "1" yerine "= 1" yazılacaktır.

Bu mantıksal öğeye "eşitsizlik" de denir. Girişte iki birim olsa bile, yalnızca girişteki sinyaller eşit olmadığında (bir birimde, diğerinde sıfır veya bir sıfırda ve diğerinde) çıkışta yüksek voltaj seviyesi olacaktır. aynı zamanda çıktı sıfır olacaktır - bu "VEYA" dan farktır. Bu mantık elemanları toplayıcılarda yaygın olarak kullanılmaktadır.

LOJİK İŞLEMLERİN ÖZELLİKLERİ

1. Notasyon

1.1. Mantıksal bağlaçlar (işlemler) için semboller:

a) olumsuzlama(ters çevirme, mantıksal DEĞİL) ¬ ile gösterilir (örneğin, ¬A);

B) bağlaç(mantıksal çarpma, mantıksal VE) ile gösterilir / \
(örneğin, A / \ B) veya & (örneğin, A & B);

C) ayrılma(mantıksal ekleme, mantıksal VEYA) \ / ile gösterilir
(örneğin, A \ / B);

D) Takip etmek(ima) → ile gösterilir (örneğin, A → B);

e) Kimlik≡ ile gösterilir (örneğin, A ≡ B). A ≡ B ifadesi, yalnızca A ve B değerleri aynıysa doğrudur (ya ikisi de doğrudur, ya da ikisi de yanlıştır);

f) 1 sembolü gerçeği (doğru ifadeyi) belirtmek için kullanılır; 0 - bir yalanı belirtmek için (yanlış ifade).

1.2. Değişkenler içeren iki boole ifadesi denir eşdeğer (eşdeğer) bu ifadelerin değerleri, değişkenlerin herhangi bir değeri için çakışırsa. Yani, A → B ve (¬A) \ / B ifadeleri eşdeğerdir, ancak A / \ B ve A \ / B değildir (ifadelerin değerleri farklıdır, örneğin, A = 1, B için = 0).

1.3. Boole önceliği: ters çevirme (olumsuzlama), bağlaç (mantıksal çarpma), ayrılma (mantıksal toplama), ima (takip etme), özdeşlik. Böylece, ¬A \ / B \ / C \ / D ile aynı anlama gelir

((¬A) \ / B) \ / (C \ / D).

(A \ / B) \ / C yerine A \ / B \ / C yazmak mümkündür. Aynısı bağlaç için de geçerlidir: (A / \ B) yerine A / \ B / \ C yazmak mümkündür / \ C.

2. Özellikler

Aşağıdaki listenin eksiksiz olması amaçlanmamıştır, ancak umarım yeterince temsil edicidir.

2.1. Genel Özellikler

1. bir dizi için n boole değişkenleri tam olarak var 2 n farklı değerler. Boole ifadesi için doğruluk tablosu n değişkenler içerir n + 1 sütun ve 2 nçizgiler.

2.2 Ayrışma

1. Ayrılmanın uygulandığı alt ifadelerden en az biri, değişkenlerin bazı değer kümesinde doğruysa, bu değer kümesi için de tüm ayırma doğrudur.
2. Bazı listelerdeki tüm ifadeler, bazı değişken değerleri kümesinde doğruysa, bu ifadelerin ayrımı da doğrudur.
3. Belirli bir listedeki tüm ifadeler belirli bir değişken değer kümesinde false ise, bu ifadelerin ayrımı da false olur.
4. Bir ayırmanın anlamı, uygulandığı alt ifadelerin yazım sırasından bağımsızdır.

2.3. Bağlaç

1. Değişkenlerin bazı değer kümeleri için bağlacın uygulandığı alt ifadelerden en az biri false ise, bu değer kümesi için de tüm bağlaç yanlıştır.
2. Belirli bir listedeki tüm ifadeler, belirli bir değişken değerleri kümesinde doğruysa, bu ifadelerin birleşimi de doğrudur.
3. Belirli bir listedeki tüm ifadeler belirli bir değişken değer kümesinde false ise, bu ifadelerin birleşimi de false olur.
4. Bir bağlacın anlamı, uygulandığı alt ifadelerin yazım sırasına bağlı değildir.

2.4. Basit ayrılıklar ve bağlaçlar

(Kolaylık olsun diye) bağlaç diyoruz basit bağlacın uygulandığı alt ifadeler farklı değişkenler veya bunların olumsuzlamaları ise. Benzer şekilde, bir ayrılma denir basit Ayrımın uygulandığı alt ifadeler farklı değişkenler veya bunların negatifleri ise.

1. Basit bir bağlaç, tam olarak bir değişken değer kümesinde 1 (doğru) değerini alır.
2. Basit bir ayırma, tam olarak bir değişken değer kümesinde 0 (yanlış) değerini alır.

2.5. Ima

1. Ima A →B ayrılmaya eşdeğerdir (¬ A) \ / B. Bu ayrım şu şekilde yazılabilir: ¬ bir \ / B.
2. Ima A →B 0 (yanlış) değerini alır, ancak bir = 1 ve B = 0. Eğer bir = 0, o zaman ima A →B herhangi bir değer için doğru B.